Se a Artemis II viaja a ~40.000 km/h, e a Lua está a ~400.000 km de distância, por que a viagem até a Lua leva 4 dias em vez de 10 horas?

 Um esclarecimento. Artemis II é a missão. Orion é a espaçonave, e SLS é o nome do foguete.

O motivo da diferença de tempo é simples, a velocidade de ~40.000 km/h é a velocidade inicial da Orion. Logo que ela atinge esta velocidade, ela desliga os motores e começa a cair de volta em direção à Terra. Quer dizer, mais ou menos. Como ela está a 40.000 km/h, ao desligar os motores a gravidade da Terra começa a puxar ela de volta, e ela vai desacelerando, desacelerando, até parar e começar a voltar. Novamente, mais ou menos, já que quando ela vai estar "parando", ela vai estar tão perto da Lua, que a gravidade lunar vai pegar a Orion para si, e a Orion vai cair na Lua. Ou quase, já que ela vai "cair errando o chão", ou seja, vai entrar em órbita da Lua.

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Quando eu era estudante de engenharia elétrica, uma das coisas que eu fazia era bico nos fins de semana para conseguir pagar meu almoço na Universidade (fui muito afortunado, tive ajuda de muita gente, além de ficar na casa de estudante, ou seja, aluguel=0, e comer no restaurante universitário, pagando uma merreca para tomar café, almoçar e jantar, mas ainda precisava da merreca).

Um dos bicos que eu fiz foi com o pai de umas amigas que eu tinha. Meu trabalho era, primeiro, passar impermeabilizante nas telhas, e depois jogar as telhas já impermeabilizadas para ele, que estava a uns 4 metros de altura. Eu precisava jogar a telha reto para cima, de forma que quando ela chegasse na altura dele, estivesse quase parando e ele só tivesse que apanhar a telha no ar. Eu não sei como, mas joguei algumas dezenas destas telhas para cima sem que nenhuma caísse de volta, ele conseguiu apanhar todas sem cair nem ele, nem a telha.

Quase isso.

Esse interregno autobiográfico é só para contar que é isso que a NASA fez, "jogou a telha para a Lua pegar". Só que a telha é uma espaçonave com 4 pessoas dentro, e a Lua está a cerca de 400.000 km de distância. Tanto eu quanto a NASA fizemos uso da conservação da energia mecânica ($E_m=E_c+E_p$). Eu, de forma intuitiva, e a NASA, de forma premeditada, calculada e medida.

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O fato da Orion viajar "no embalo" explica em parte a demora. Sempre pode ter alguém para perguntar "mas e por que não embicaram para a Lua e pisaram no acelerador até chegar lá?" Eu vou deixar para o Gemini AI para explicar:

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Bem-vindo ao corpo de cadetes, astronauta. Se você está planejando sua primeira viagem interplanetária, a primeira coisa que precisa deletar do seu cérebro é a intuição de motorista de estrada. No espaço, as "ruas" são curvas e o chão está sempre fugindo de você.

Aqui está o seu guia técnico para navegar até a Lua utilizando a física clássica.

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1. O Mito da Linha Reta: Por que não "mirar e acelerar"?

Na Terra, se você quer ir até um alvo, você aponta para ele e pisa no acelerador. No espaço, isso é um convite ao desastre por três motivos:

1. O Alvo está Correndo: A Lua orbita a Terra a cerca de $3.600\text{km/h}$. Se você mirar onde ela está agora, quando chegar lá, ela terá percorrido milhares de quilômetros.
2. O "Poço" Gravitacional: A gravidade da Terra é como um funil profundo. Tentar subir esse funil em linha reta exige uma queima constante e absurda de combustível para vencer a força que te puxa para baixo a cada segundo.
3. Economia de Inércia: Orbitar é, essencialmente, "cair e errar o chão". Aproveitamos a velocidade que já temos na órbita baixa para apenas "esticar" a curva até que ela encontre a órbita da Lua. É muito mais eficiente pegar "pega" na gravidade do que lutar contra ela.

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2. O Mapa da Viagem: A Elipse de Hohmann

Para chegar lá gastando o mínimo possível, usamos a Órbita de Transferência de Hohmann. Imagine que vamos criar uma elipse onde o ponto mais baixo toca a Terra e o ponto mais alto toca a Lua.

Passo 1: Encontrar o tamanho da "estrada" ($a$)

Somamos o raio da órbita de partida ($r_p\approx 6.771\text{km}$) com o raio da órbita da Lua ($r_a\approx 384.400\text{km}$) e dividimos por dois para achar o semieixo maior:

$a=\frac{6.771+384.400}{2}\approx 195.585\text{km}$

Passo 2: Calcular o tempo de viagem ($t$)

Usando a 3ª Lei de Kepler e o parâmetro gravitacional da Terra ($GM$):

$t=\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$

Convertendo para dias, o cálculo nos dá aproximadamente 4,9 dias.

Passo 3: A Velocidade de Partida ($v$)

Para entrar nessa elipse, você precisa da "Velocidade de Injeção Trans-Lunar". Usando a Equação Vis-Viva:

$v=\sqrt{GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}$

Para a Artemis II, isso significa acelerar de $7,8\text{km/s}$ para cerca de $10,75\text{km/s}$.

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3. O Perfil de Velocidade: A "Subida da Ladeira"

Sua viagem não terá velocidade constante.

• A Saída: Você começa a $38.700\text{km/h}$. É a sua velocidade máxima.
• O Meio do Caminho: A gravidade da Terra fica te "puxando pela gola da camisa". Você vai perdendo velocidade constantemente.
• A Chegada: Ao se aproximar da Lua, você estará a apenas $680\text{km/h}$ em relação à Terra. Você está quase parando no topo da ladeira gravitacional. É aí que a Lua te "captura".

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4. Comparação: Teoria vs. Realidade

A matemática de Hohmann que fizemos acima é a rota mais econômica (baixa energia), mas missões tripuladas costumam ser mais "agressivas" para proteger os astronautas da radiação e economizar tempo de suporte de vida.

Por que a Artemis II demora mais que a Apollo?

A Artemis II passará primeiro 24 horas em uma órbita terrestre muito alta (HEO) para testar os sistemas de suporte de vida antes de se comprometer com a ida definitiva à Lua. A segurança moderna exige esse "check-up" extra antes de cruzar o abismo.

Pronto para o lançamento, cadete? Só não esqueça de travar o cinto antes da queima de injeção!

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E a distância percorrida? Bom, este é um problema em que o teu palpite é quase tão bom quanto o meu. Não existe uma equação que dê o perímetro exato de uma elipse. Existe uma aproximação, e pela aproximação, a distância percorrida é de 448.500 km, contra a distância em linha reta de 384.400 km. A viagem fica 64.000 km mais longa, é o preço pago para economizar combustível.

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Um pouco mais de cálculo

Para calcular o tempo de viagem de uma missão como a Artemis II, utilizamos conceitos fundamentais da gravitação universal e das Leis de Kepler. No nível do ensino médio, a forma mais precisa de modelar isso é através da Órbita de Transferência de Hohmann.

Basicamente, imaginamos que a nave percorre metade de uma elipse muito alongada, onde o ponto mais próximo da Terra (perigeu) é a órbita inicial e o ponto mais distante (apogeu) é a órbita da Lua.

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1. Definindo a Geometria da Viagem

Para calcular a trajetória, precisamos primeiro encontrar o semieixo maior (a) da elipse de transferência.

• Raio do Perigeu ($r_p$): É a distância do centro da Terra até a nave na órbita baixa (LEO). Se a nave está a $400\text{km}$ de altitude e o raio da Terra é $\approx 6.371\text{km}$, então $r_p\approx 6.771\text{km}$.
• Raio do Apogeu ($r_a$): É a distância da Terra até a Lua, aproximadamente $384.400\text{km}$.

O semieixo maior (a) da nossa elipse de viagem é a média aritmética dessas duas distâncias:

$a=\frac{r_p+r_a}{2}$

Substituindo os valores:

$a=\frac{6.771+384.400}{2}\approx 195.585\text{km}$

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2. Aplicando a Terceira Lei de Kepler

A Terceira Lei de Kepler (Lei dos Períodos) diz que o quadrado do período orbital (T) é proporcional ao cubo do semieixo maior (a). Para órbitas ao redor da Terra, usamos a fórmula:

$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$

Onde:

• G: Constante gravitacional ($6,67\times {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$).
• M: Massa da Terra ($\approx 5,97\times {10}^{24}\text{kg}$).
• GM: Também conhecido como parâmetro gravitacional padrão ($\mu \approx 3,986\times {10}^{14}{\text{m}}^3/{\text{s}}^2$).

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3. O Cálculo do Tempo

O valor de T que encontraremos na fórmula acima representa o tempo para uma volta completa na elipse. Como a nave apenas vai da Terra para a Lua (metade da elipse), o tempo de viagem (t) será:

$t=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$

Passo a passo com números aproximados:

1. Converta a para metros: $a\approx 1,95\times {10}^8\text{m}$.
2. Calcule $a^3$: $\approx 7,41\times {10}^{24}{\text{m}}^3$.
3. Divida por GM: $\frac{7,41\times {10}^{24}}{3,986\times {10}^{14}}\approx 1,86\times {10}^{10}$.
4. Tire a raiz quadrada: $\approx 136.381$ segundos.
5. Multiplique por $\pi$ ($\approx 3,14$): $\approx 428.236$ segundos.

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4. Resultado Final

Para tornar o número compreensível, convertemos os segundos em dias:

• $428.236/3.600\approx 119$ horas.
• $119/24\approx 4,9\text{dias}$.

Nota Realista: Na prática, missões como a Apollo ou a Artemis costumam levar entre 3 a 4 dias. Isso acontece porque elas não seguem uma transferência de Hohmann perfeita (que é a que gasta menos combustível, mas é mais lenta); elas aplicam um pouco mais de aceleração para "cortar caminho" e reduzir o tempo de exposição dos astronautas à radiação.

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Mais cálculos

Em mecânica orbital, a velocidade é o que define o "formato" da sua trajetória. Se você estiver em uma órbita circular e acelerar, sua órbita se torna uma elipse. Se acelerar demais, você escapa da gravidade da Terra para sempre.

Para calcular a velocidade em qualquer ponto de uma órbita, usamos uma das equações mais importantes da astrofísica: a Equação Vis-Viva.

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1. A Equação Vis-Viva

No ensino médio, estudamos a conservação da energia mecânica ($E_m=E_c+E_p$). A equação Vis-viva é a aplicação direta desse conceito para corpos em órbita:

$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$

Onde:

• v: Velocidade orbital no ponto atual.
• G: Constante gravitacional.
• M: Massa da Terra.
• r: Distância atual do centro da Terra até a nave.
• a: Semieixo maior da elipse (que calculamos na resposta anterior: $195.585\text{km}$).

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2. Velocidade de Partida (Injeção Trans-Lunar)

Para a Artemis II sair da órbita baixa da Terra ($400\text{km}$ de altitude) e alcançar a Lua, ela precisa atingir a velocidade de perigeu da elipse de transferência.

Usando os dados:

• $GM\approx 3,986\times {10}^{14}{\text{m}}^3/{\text{s}}^2$
• $r=\mathrm{6.771.000}\text{m}$ (Raio da Terra + altitude)
• $a=\mathrm{195.585.500}\text{m}$

Substituindo na fórmula:

$v^2=3,986\times {10}^{14}(\frac{2}{\mathrm{6.771.000}}-\frac{1}{\mathrm{195.585.500}})$

$v^2\approx 3,986\times {10}^{14}(2,95\times {10}^{-7}-0,05\times {10}^{-7})$

$v^2\approx 1,15\times {10}^8$

$v\approx 10.750\text{m/s}\approx 10,75\text{km/s}$

Como a nave já estava orbitando a Terra a cerca de $7,8\text{km/s}$, os motores precisam fornecer um aumento de velocidade (o famoso $\Delta v$) de aproximadamente $2,95\text{km/s}$.

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3. A velocidade varia durante o caminho?

Sim, e muito! Conforme a nave se afasta da Terra, a gravidade do planeta vai "puxando-a" de volta, freando-a continuamente.

Podemos calcular a velocidade com que ela chega perto da Lua (o apogeu da elipse), bastando trocar o valor de r na mesma fórmula para a distância da Lua ($\mathrm{384.400.000}\text{m}$):

$v^2=GM(\frac{2}{\mathrm{384.400.000}}-\frac{1}{\mathrm{195.585.500}})$

$v\approx 189\text{m/s}\approx 0,19\text{km/s}$

O Paradoxo Orbital: A nave começa a viagem extremamente rápida ($38.700\text{km/h}$) e chega nas proximidades da Lua quase "parando" em relação à Terra ($680\text{km/h}$). É nesse ponto que a gravidade da Lua assume o controle e começa a puxar a nave para si, acelerando-a novamente.

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Resumo da "estrada"

• Na partida (Terra): Velocidade máxima.
• No meio do caminho: Velocidade decrescente (a gravidade da Terra atua como um freio).
• Na chegada (Lua): Velocidade mínima (antes de ser capturada pela gravidade lunar).

É fascinante notar que, embora a distância seja enorme, o cálculo depende apenas de onde você está (r) e de quão "larga" é a sua elipse (a).