Como foi calculada a massa do Sol?

É muito fácil calcular a massa de um astro qualquer, desde que exista um corpo em órbita em torno dele, e saibamos o período orbital (tempo que ele leva para completar a órbita) e a distância média desse corpo ao astro. Basta usar a lei da atração universal entre dois corpos de Newton (lei da gravitação).

Vamos supor que um corpo de massa $m$ esteja em órbita em torno de um corpo de massa $M$. Suponhamos que a órbita seja circular para facilitar os cálculos. A força centrípeta responsável pela órbita curva é igual à força de atração gravitacional, e podemos escrever

$\frac{GMm}{R^2}=\frac{m{v}^2}{R}$

onde $G$ é a constante universal da gravitação, $R$ é o raio da órbita e $v$ é a velocidade orbital. A fórmula acima se reduz a

$GM=v^2$ R portanto $M=\frac{v^{2}R}{G}$

A velocidade orbital é $v=\frac{2\pi R}{T}$, $T$ sendo o período, e portanto

$v^2=\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}$

o que dá para o valor da massa do astro (que pode ser uma estrela ou um planeta ou um satélite natural como a Lua)

$M=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$

Consideremos então a órbita da Terra em torno do Sol. O raio da órbita é $R$ = 150 000 000 km = $1.5\times {10}^{11}$ metros; o período é T = 1 ano = $3.15\times {10}^7$ segundos. $G=6.67\times {10}^{-11}$ em unidades MKS, o que dá então para a massa do Sol

$M_S=\frac{4{\pi }^2(1.5\times {10}^{11}{)}^3}{6.67\times {10}^{-11}(3.15\times {10}^7{)}^2}=2.01\times {10}^{30}kg$

Note que o resultado não depende da massa do planeta. Se usarmos a órbita de qualquer outro planeta para calcular a massa do Sol obteremos o mesmo resultado. Só precisamos saber o raio da órbita e o período. Qualquer corpo que esteja em órbita do Sol à mesma distância que a Terra, seja um planetão ou uma pedrinha, vai ter o mesmo período, ou seja, um ano.

Podemos usar a fórmula acima para calcular a massa de outros astros, por exemplo:

1. A órbita da Lua em torno da Terra é quase circular, e o raio desta órbita (distância Terra-Lua) é 382 000 km. O período orbital é 27.32 dias. Use a fórmula que dá M acima para calcular a massa da Terra.
2. Um dos satélites naturais de Júpiter, Io, tem uma órbita quase circular de 423 400 km de raio em torno do planeta, e ele leva 42 horas e meia para completar a órbita. Calcule a massa de Júpiter.

Na verdade, Júpiter tem 16 satélites conhecidos em órbita em torno dele. Qualquer um deles que usemos, obteremos sempre o mesmo valor para a massa do planeta.

Mas e se o planeta não tem satélite nenhum em órbita em torno dele? Aí fica bem mais complicado. Mercúrio e Vênus não têm nenhum satélite natural. Neste caso, a única maneira de calcular a massa do planeta é através da perturbação que ele causa nas órbitas dos outros planetas, cálculos bem mais difíceis. Ou pelo menos era assim antes da Era Espacial que estamos vivendo. Hoje em dia, há satélites artificiais (feitos pelo homem) em órbita em torno de todos os corpos do Sistema Solar, tornando bem mais fácil o cálculo preciso das massas do planetas e suas "luas".

Mas, alguém poderia perguntar, e como foi calculada a constante universal G? Basicamente, medindo a força entre dois corpos de massa conhecida (duas esferas de chumbo, por exemplo) a uma distância conhecida num laboratório. E para medir as distâncias entre os astros? Aí nós usamos métodos de paralaxe e triangulação. Suponhamos que a distância Terra-Lua seja conhecida. Queremos calcular a distância do Sol. A Terra, o Sol e a Lua formam um triângulo.

Se eu conheço um lado de um triângulo, e dois ângulos, posso calcular os dois lados que estão faltando pelas fórmulas da trigonometria. Eu meço o ângulo entre o Sol e a Lua no céu, e o ângulo entre o Sol e a Terra com vértice na Lua (que é de ${90}^{\circ }$ quando metade do disco lunar está iluminado).