Por que os objetos são atraídos sempre em direção ao centro da Terra se a gravidade é nula no centro do planeta?

 Vamos começar com a lei da gravitação universal de Newton. Ela diz o seguinte:

Duas massas puntiformes A e B, separadas entre si por uma distância D, se atraem com uma força F. Essa força F é igual ao produto das massas dividido pelo quadrado da distância D entre elas, multiplicado pela constante universal da gravitação G, que é a constante que determina qual é a força de atração entre dois corpos de massa de 1 kg separados por uma distância de 1 metro.

Fig. 1

$\text{[}1]F=G\frac{m_A\times m_B}{D^2}$

A lei da gravitação universal é muito simples, mas tem gente aí que tem dificuldade de entender. Tem gente perguntando como o Sol pode ter uma força de atração tão grande se ele é feito só de gás. Para a lei da gravitação não importa se é gás, sólido ou líqüido. Basta que seja massa. Massa é tudo aquilo que tem peso. O ar tem peso, a água também, portanto é massa.

Os corpos A e B da figura acima podem ser duas estrelas a uma distância de um milhão de anos-luz uma da outra. Ou podem ser duas bolas de gude sobre uma mesa separadas por uma distância de 30 cm, ou dois átomos separados por uma distância qualquer, não importa.

A lei da gravitação se aplica a massas puntiformes. Ou seja, na forma de um ponto. Qualquer corpo a uma distância muito grande fica parecido com um ponto. As estrelas são enormes, todas maiores do que a Terra, algumas maiores do que o Sol, mas no céu à noite se parecem pontos. Uma cidade é um ponto num mapa.

Muito bem, então como dissemos, a lei da gravitação de Newton se aplica a massas puntiformes. Mas e se as massas não forem puntiformes? E se pelo menos uma delas for um sólido (geométrico, não necessariamente um sólido físico) como por exemplo uma bola de futebol próxima de um planeta? Na figura abaixo, A é um planeta, B é uma bola de futebol.

Fig. 2

Aí vai acontecer o seguinte: o planeta não pode mais ser considerado uma massa puntiforme. Para calcular a força que o planeta vai exercer sobre a bola, precisamos calcular a força que cada parte do planeta exerce sobre a bola e somar todas essas forças para obtermos a força total. A força de atração que cada parte do planeta exerce sobre a bola é um vetor, indicado por uma seta vermelha na figura. Precisamos somar todos esses vetores para obter a força total. O procedimento que nós fazemos em cálculo integral é assim: nós dividimos o planeta em pedacinhos muito pequenininhos, e calculamos a força de atração que cada um desses pedacinhos exerce sobre a bola. Essa soma é chamada uma soma de Riemann. Seja N o número de pedacinhos no qual nós dividimos o planeta. Se N tende a infinito, enquanto a massa de cada pedacinho tende a zero, a soma de Riemann tende a um valor bem definido. Esse valor é a integral, que vai dar a força total que o planeta exerce sobre a bola. Aliás, Newton inventou o cálculo integral justamente para resolver problemas desse tipo, relacionados à gravitação. Essa se não me engano foi a primeira integral que ele calculou.

Se calcularmos a integral acima o resultado será que a força exercida sobre a bola será como se toda a massa do planeta estivesse concentrada num único ponto, o centro, e o valor da força será dado usando a fórmula [1] acima, com $m_A$ sendo a massa do planeta, $m_B$ a massa da bola, e D a distância entre o centro do planeta e a bola.

Você pode pensar assim que fica mais fácil: para calcular a força total de atração que o planeta exerce sobre a bola, precisamos calcular a força que cada átomo do planeta exerce sobre a bola. A força total que o planeta exerce sobre a bola é a soma dessas forças.

Agora vamos imaginar a situação seguinte: suponhamos que fosse possível fazer um buraco esférico no centro do planeta e colocar a bola lá dentro, bem no centro do planeta. E agora, qual vai ser a força total de atração do planeta sobre a bola?

Fig. 3

Poderíamos calcular uma integral para resolver o problema, mas na verdade nem é preciso, pois minha intuição já dá a resposta. Se a distribuição de massa do planeta é homogênea, ou seja, a massa está igualmente distribuída por todos os lados, a força de atração para cima é igual à força de atração para baixo, e a mesma intensidade da força de atração age para frente e para trás, para e esquerda e para a direita, em qualquer direção arbitrária e na direção oposta. Portanto a força total que age na bola é zero. Forças de mesma intensidade, na mesma direção mas em sentidos opostos se cancelam, e a força total resultante é nula.

Quando duas forças iguais e opostas atuam num corpo, como na corda nesta figura, ela não é acelerada nem para um lado nem para o outro.

Agora vamos imaginar uma situação diferente. Suponhamos que a bola seja enterrada alguns metros abaixo da superfície do planeta, muito longe do centro, como mostra a figura abaixo.

Fig. 4

E agora, como vai ser a força total que atua na bola? Grande parte da massa do planeta está puxando a bola para o centro, mas não é toda a massa do planeta que está fazendo isso. Uma parte da massa do planeta está puxando a bola para a direita na figura. Portanto nós sabemos que a força resultante, a somatória de todas as forças, vai ser na direção do centro, mas menor do que seria se a bola estivesse na superfície.

E se o planeta fosse oco? O que aconteceria nesse caso? Suponhamos que o planeta fosse oco, e nós fizéssemos um buraco nele e jogássemos a bola lá dentro, como seria a força resultante agindo nessa bola?

Fig. 5

A figura acima mostra um planeta oco com uma bola dentro. As flechas vermelhas indicam as direções das forças gravitacionais que o planeta exerce na bola. Você é capaz de adivinhar como será a força resultante? Para saber é preciso calcular uma integral. Se o fizermos, o resultado será o seguinte: a força resultante vai ser nula.

Isto pode parecer surpreendente, mas vamos raciocinar um pouquinho. Olhe bem para a figura e veja a situação da bola.A maior parte da massa do planeta está à esquerda da bola, só que essa massa em média está mais distante da bola do que a massa da direita; essa massa da direita é menor, mas está mais próxima da bola. Para calcular a força gravitacional pela fórmula de Newton [1], precisamos levar em consideração não só as massas mas também as distâncias. Se fizermos então o cálculo veremos que as forças em direções opostas têm a mesma intensidade, e a força total que atua na bola é nula.

Portanto, num planeta oco formado de uma casca esférica de densidade uniforme o campo gravitacional no interior do planeta é nulo. Se colocássemos a bola no centro do planeta seria fácil ver isso, o mesmo raciocínio que utilizamos no caso da Fig. 3 poderia ser aplicado, mas o surpreendente é que, no interior do planeta oco, não importa onde coloquemos a bola, ela fica flutuando no espaço porque a força gravitacional é zero!

Se a Terra fosse oca e abríssemos um buraco nela e colocássemos um astronauta lá dentro ele experimentaria ausência de gravidade, assim como experimentam os astronautas na ISS.

Um planeta atrai aquilo que está fora dele, aquilo que está dentro ele não atrai mais. A gravidade no centro de um planeta com distribuição de massa com simetria esférica é zero.

Se o planeta tivesse a forma de uma pirâmide, um cilindro, um cubo ou um prisma as integrais mencionadas acima teriam uma forma diferente. Essas integrais dependem da geometria do problema e nada mais.